numero real:

Número real

En matemáticas, los números reales incluyen tanto a los números racionales (como: 31, 37/22, 25,4) como a los números irracionales aquellos que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periodicas, tales como: . Números reales son aquellos que poseen una expresión decimal.

Pueden ser descritos de varias formas, aparentemente simples, pero estas carecen del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas.

Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, usando expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó finalmente a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa a la nueva matemática, la cual incluyó definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.




Historia
Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes alrededor del año 1000 a. C.; alrededor del 500 a. C. el grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números irracionales. Los números negativos fueron ideados por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China poco después, pero no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII Leonhard Euler descartó las soluciones negativas de las ecuaciones porque las consideraba irreales. En ese siglo, en el cálculo se utilizaba un conjunto de números reales sin una definición concisa, cosa que finalmente sucedió con la definición rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871.

En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números reales exige tener amplios antecedentes de teoría de conjuntos y lógica matemática. Fue lograda la construcción y sistematización de los números reales en el siglo XIX por dos grandes matemáticos europeos utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de Georg Cantor (encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis matemático de Richard Dedekind (vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind). Ambos matemáticos lograron la sistematización de los números reales en la historia, no de manera espontánea, sino utilizando todos los avances previos en la materia: desde la antigua Grecia y pasando por matemáticos como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y Weierstrass, por mencionar sólo a los más sobresalientes.





Jerarquia de operaciones:

(+)(+)=+

(+)(-)=-

(-)(+)=-

(-)(-)=+

Expresiones polinomicas:

forma general de un polinomio

Nota:cuando una expresion sea o tenga logaritmo (ln)es algebraica.Tambien es algebraica cuando tiene exponente negativo y otro positivo.

Exponentes y radicales:

Exponentes:

Si n es un entero positivo, la notación exponencial a2 que se define en la tabla, representa el producto del número real a multiplicado n veces por si mismo. La expresión a2 se lee a a la enésima potencia o simplemente a a la n. El entero positivo se llama exponente y el número real a, base.



Factorizacion:

En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza como binomio conjugados (a - b)(a + b).

La factorización de enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética y la factorización de polinomios (en ciertos contextos) en el teorema fundamental del álgebra.

Factorizar un polinomio:

Antes que nada, hay que decir que no todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos sí se puede. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.

* Binomios

1. Diferencia de cuadrados
2. Suma o diferencia de cubos
3. Suma o diferencia de potencias impares iguales

* Trinomios

1. Trinomio cuadrado perfecto
2. Trinomio de la forma x²+bx+c
3. Trinomio de la forma ax²+bx+c

Trinomio cuadrado perfecto:

Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un T.C.P. debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.
y

Exponentes negativos.

Propiedades generales básicas:

|1| Los números negativos no tienen logaritmo. Es una especie de convenio ya que aparecerían opuestos de los positivos y algunos negativos no tendrían logaritmo como Log2( − 4) donde 22 = 4 y ( − 2)2 = 4 según propiedades de la potenciación.

|2| El logaritmo de su base es 1. Así LogbB = 1 ya que B1 = B.

|3| El logaritmo de 1 es cero. Así Logb1 = 0 ya que B0 = 1.

|4| Si A>0 y A<1 entonces LogbA es un logaritmo negativo. Es lógico ya que el logaritmo de 1 es cero, entonces los menores que uno serán negativos al no poder ser superiores a cero.

|5| Las potencias consecutivas de una base forma una progresión geométrica y la de los exponentes es una progresión aritmética.

Así las potencias de 2 son 1,2,4,8,16..etc y sus exponentes serán 0,1,2,3,4..etc ya que 20 = 1, 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, y 24 = 16 ..etc luego Log21 = 0, Log22 = 1, Log24 = 2, Log28 = 3 y Log216 = 4...etc.



Division sintética:

El cociente y el residuo de una división de un polinomio entero en x entre x+a se pueden hallar por medio de las siguientes propiedades:

1. El cociente es un polinomio en x cuyo grado es una unidad menor que el grado del dividendo.
2. El coeficiente del primer término del cociente es igual al coeficiente del primer término del dividendo.
3. El coeficiente de un término cualquiera del cociente se obtiene mediante la suma del simétrico del producto del coeficiente del término anterior por el segundo término del binomio divisor, y el coeficiente del término que ocupa el mismo lugar en el dividendo.
4. El residuo se obtiene mediante la suma del simétrico del producto del coeficiente del último término del cociente por el segundo término del divisor, y el término independiente del dividendo.